Allgemeine Teilbarkeitsregeln:
Für alle b-adischen Zahlensysteme gilt (für alle natürlichen Zahlen):
1.) Ouersummenregel:
Ist die Quersumme einer Zahl durch (b-1) teilbar, dann ist auch die ganze Zahl durch (b-1) teilbar!
Beispiel:
Im Dezimalsystem: b=10 b-1=9
1233 Quersumme = 9
Im Hexadezimalsystem ist b=10 b-1=F
78 oder 87 Quersumme = F oder 12F48 Quersumme = 1E Quersumme =F
Im Octalsystem b=10 b-1=7
205 Quersumme = 7
Ist die Quersumme einer Zahl durch einen Teiler von (b-1) teilbar, dann ist die ganze Zahl auch durch diesen Teiler teilbar!
Beispiel:
Im Dezimalsystem Teiler von b-1 = 3:
24 Quersumme = 6 (6 ist durch 3 teilbar) daher ist 24 durch 3 teilbar
Im Hexadezimalsystem sind Teiler von b-1 = 5 und 3
2064 Quersumme = C (C ist durch 3 teilbar) daher ist 2064 durch 3 teilbar = ACC.
514 Quersumme = A (A ist durch 5 teilbar) daher ist 514 durch 5 teilbar =104.
2.) Palindromregel:
Definition:
Ein Palindrom ist eine Zeichenkette, in der die Zeichenfolge spiegelsymmetrisch ist.
Ein vollständiges Palindrom besteht aus einer geraden Anzahl von Zeichen.
Alle Zahlen die vollständige Palindrome sind, sind durch (b+1) teilbar! (Dieses gilt auch für freiwillige Palindromzahlen.)
Beispiel:
Hexadezimal
2A55A2 ist durch 11 teilbar = 27D82
Anmerkung:
Weil vollständige Palindromzahlen immer durch b+1 teilbar sind, können natürliche Zahlen (>3) die in einem beliebigen b-adischen Zahlensystem ein vollständiges Palindrom sind, keine Primzahlen sein.
Mersenne Primzahlen haben die Form 2^x-1, wobei x eine Primzahl sein muss.
In Binärer Schreibweise sind Mersenne Primzahlen (>3) immer unvollständige Palindrome. Sie bestehen nur aus 1en in der Anzahl x.
Wird zu einer solchen Mersenne Primzahl 2 addiert, dann ergibt es in Binärer Schreibweise wieder ein Palindrom aber diesmal ein vollständiges (erste und letzte Ziffer eine 1 und dazwischen nur 0). Vollständige binäre Palindrome sind immer (siehe obige Regel) durch 3 teilbar.