Palindrome und Primzahlen
(eine ganz besondere Beziehung)
31.12.2010
Alle Natürlichen Zahlenwerte die in einem b-adischen Zahlensystem
als vollständige (gerade Anzahl Ziffern) Palindromzahl >11 geschrieben werden können,
sind durch (b+1) [entspricht 11] teilbar (siehe auch
Teilbarkeitsregeln).
Dieses ist leicht zu beweisen, denn die alternierende Quersumme einer vollständigen Palindromzahl ergibt immer "Null".
Primzahlen können somit nur Palindromzahlen >11 sein, wenn sie unvollständig (ungerade Anzahl von Ziffern) sind
(freiwillige Palindromzahlen eingeschlossen).
Eine spezielle Form dieser Primzahlen sind die Mersenneprimzahlen, denn sie bestehen in der Schreibweise des
Dualsystem nur aus den Ziffern "1".
Zur Feststellung von Besonderheiten und Regeln habe ich ein Programm geschrieben mit dem ich den
Zahlenraum von 1 bis 100000 auf Palindromzahlen in allen sinnvollen b-adischen Zahlensystemen untersucht habe.
Ergebnisse:
Es gibt Zahlen die in keinem b-adischen Zahlensystem als Palindromzahl >11 geschrieben werden.
Hier ist die Liste dieser Zahlen, die ausnahmslos Primzahlen sind, zu sehen:
Streng nicht-palindromische Zahlen
Alle Zahlen die in b-adischen Zahlensystemen höchstens als unvollständige Palindromzahlen geschrieben werden
sind Primzahlen oder die Quadrate von Primzahlen. Im Zahlenraum bis 100000 trifft dieses auf alle Zahlenwerte zu,
mit
Ausnahme der Zahl (3^2) =
9.
Die 9 ist im Dualsystem 1001 und damit eine vollständige Palindromzahl.
Unter den Primzahlen die in keinem b-adischen Zahlensystem als Palindromzahl (oben genannte Bedingungen) geschrieben werden
können, gibt es auch folgende Primzahlzwillinge:
Nichtpalindromische Primzahlzwillinge
Die Zahl
83160 wird
in 132 b-adischen Zahlensystemen als Palindromzahl geschrieben und ist damit die
palindromischte Zahl
im Zahlenraum bis 100000.
Eine Auflistung zeigt, wie häufig Zahlenwerte in b-adischen Zahlensystemen als Palindromzahlen geschrieben werden:
Häufigkeiten der Vielfachpalindromzahlen
Die komplette Auflistung aller Zahlen bis 100000 steht hier zum Download bereit:
(Achtung - die Textdatei ist gepackt ca. 3 MB groß!)
Volltext der Analyse
-
Die weiteren Auswertungen im Zahlenraum bis 10 Millonen ergaben:
(16.12.2006)
Auswertung
Die Primzahlen mit den meisten Palindromen in b-adischen Zahlensystemen haben 21 Basen in dem sie ein Palindrom sind.
Diese vier Zahlen lauten:
5654881 9168161 8996401 9189181
Es fällt auf, dass viele mehrfach Palindromische Primzahlen mit der Ziffer 1 enden.
Auch bei der Schreibweise in sehr vielen anderen b-adischen Zahlensystemen ist dieses der Fall!
Die größte Lücke zwischen zwei Nichtpalindromischen Primzahlen umfaßt 146 Primzahlen.
Dieser Bereich ist hier aufgelistet:
Lücke
Für die Nichtpalindromischen Zahlen gibt es im Englischen die Bezeichnung:
Strictly non-palindromic numbers auf Deutsch
Streng nicht-palindromische Zahl.
In der
Wikipedia steht mehr dazu.
Auswertungen bis 50 Millionen:
(25.12.2006)
Results up to 50 000 000
Die Primzahl 41081041 ist die kleinste Zahl die in 32 Basen ein Palindrom ist.
Diese Primzahl endet in den Schreibweisen aller b-adischen Zahlensysteme, bis zum Hexadezimalsystem, mit einer 1.
-
Auswertungen bis 1 Milliarde:
(31.12.2006)
Results up to 1 Billion
Tupel (Zusammenhängede Folgen von "Strictly non-palindromic primes", ohne dass palindromische Primzahlen dazwischen liegen)
(14.01.2007)
Tupel
Letzte Änderung: 31. Dezember 2010